Derivadas

Em uma empresa, considerou-se a produção de parafusos como função do capital investido em

equipamentos e estabeleceu-se Pq = 3q², onde a produção P é dada em milhares de peças e o

capital investido q é dado em milhares de reais.


A) Determine a taxa de variação média da produção para o intervalo 3 \leq q \leq 5.

B) Estime, numericamente, a taxa de variação instantâneas da produção para q = 1. (Utilize para as estimativas do limite h = ±0,1; h = ±0,01 e h = ±0,001).

C) Estime a derivada da produção em q = 1, ou seja, P'(1). Qual a unidade de medida dessa derivada?

D) Qual o significado numérico e gráfico da derivada encontrada no item anterior?

E) Determine a equação da reta tangente à curva para q = 1.

F) Encontre, algebricamente, a derivada de P em q = 1.

G) Encontre, algebricamente, a função derivada de P em relação a q.
O custo C para a produção dos parafusos da questão anterior é dado por C(q) = q² +400, onde

C é dado em reais e q em milhares de parafusos.


A) Determine a taxa de variação média do custo para o intervalo 1 \le \!\, q \le \!\, 5.

B) Estime, numericamente, a taxa de variação instantânea do custo para q = 2.(Utilize para as estimativas do limite h = ±0,1; h = ±0,01 e h = ±0,001).

C) Estime a derivada do custo em q = 2. Qual a unidade de medida dessa derivada?

D) Qual o significado numérico e gráfico da derivada encontrada no item anterior?

E) Determine a equação da reta tangente à curva para q = 2.

F) Encontre, algebricamente, C'(2)

G) Encontre, algebricamente, a função derivada de C em relação a q.
Caso o custo para produção dos parafusos seja dada por C = f(q), considerando o custo em reais

e a quantidade em milhares de peças.


A) Qual o significado da unidade de medida da derivada f'(q)?

B) Em termos práticos, o que significa dizer que f'(10) = 5?

C) Em uma produção industrial, o que você espera que seja maior, f'(10) ou f'(100)?
O montante de uma aplicação financeira a juros compostos é escrito como função do tempo

x que o capital fica aplicado, ou seja, M = f(x). O montante é dado em reais e o tempo dado

em meses.


A) Qual o significado e a unidade de medida da derivada f'(q)?

B) Em termos práticos, o que significa dizer que f(6) = 10?

C) Graficamente, o que significa dizer que f'(6) = 10? faça uma representação grafia.

D) Ao longo do tempo, o que você espera que seja maior, f'(6) ou f'(12)?
Para um produto X, a quantidade de venda Q da a receita R, que segue a função R = -2q² + 1.000q.


A) Esboce o gráfico de R ressaltando os principais pontos.


B) Determine a taxa de variação média da receita para os intervalos 100 <= q <= 200; 200 <= q <= 300 e 300 <= q <= 400. Quais os seus significados no gráfico?


C) Estime, numericamente, a taxa de variação instantânea da receita para q = 100.


D) Estime a derivada da receita em q = 100. Qual a unidade de medida dessa derivada?


E) Qual o significado numérico e gráfico da derivada encontrada no item anterior?


F) Determine a equação da reta tangente à curva para q = 100. Faça também a representação gráfica.


G) Encontre, algebricamente, R'(100).


H) Encontre, algebricamente, a função derivada de R em relação a R'(q).


I) Utilizando a função R'(q) encontrada no item anterior, obtenha R'(100), R'(250), R'(300) e represente sobre o gráfico do item (a) as retas tangentes relativas a essas derivadas.


J) Comente os sinais de R'(100), R'(250), R'(300) e sua relação com o comportamento da função R(q).

Uma empresa investiu 50.000 reais, a função que determina os juros é F(x) = 50.000 * 1,08^x, onde

x representa o ano após o investimento.


A)Esboce o gráfico de F(x).


B) Determine a taxa de variação média do investimento para o intervalo 2 <= x <= 6. Qual seu

significado no gráfico?


C) Estime, numericamente, a taxa de variação instantânea da receita para x = 3.


D) Estime a derivada do investimento em x = 3. Qual a unidade de medida dessa derivada?


E) Qual o significado numérico e gráfico da derivada encontrada no item anterior?


F) Determine a equação da reta tangente à curva para x = 3 Faça também a representação

gráfica.



Em uma fabrica, a quantidade de produtos produzidos P depende do numero de horas

trabalhadas por um grupo de funcionários que leva a função P(q) = 1.000q^3/4, onde P a unidade

de produtos produzidos por dia.


A) Estime, numericamente a derivada da produção para q = 1. Qual a unidade de medida dessa derivada?


B) Qual o significado numérico e gráfico da derivada encontrada no item anterior?


C) Entre P'(1) e P'(10), qual valor você espera que seja maior?
A receita e o custo de um produto são dados por C = 3q + 90 e R = 5q, onde q representa a

quantidade comercializada ou fabricada.


A) Encontre numericamente o valor de C'(1) e C'(5) e compare os valores. o que você pode concluir a respeito dessas derivadas?


B) Encontre a função R'(1). Na prática, qual o significado dessa função?
A quantidade demandada q de café e o preço p estão relacionados de acordo com a função

q = 150.000p^-2, onde a demanda é dada em quilos e o preço em reais.


A) Construa uma tabela que dê a demanda para os preços de 0,50; 1,00; 1,50; 2,00; 2,50; 5,00 e 10,00 reais. depois esboce o gráfico de q.


B) Estime, numericamente, a derivada da demanda para p = 2,00. Qual a unidade de medida dessa derivada?


C) Determine a equação da reta tangente à curva para p = 3. Faça também a representação gráfica.


D) Qual o significado em termos práticos de p → ∞?


E) Obtenha, algebricamente, a função derivada q'(p).
O preço do café varia de acordo com a função p = 0,25t^2 - 2,5t + 60 para um período de um ano,

onde t representa os meses.


A) Esboce o gráfico ressaltando os principais pontos.


B) Encontre, algebricamente, a função derivada p'(t).


C) Em que momento o preço é minimo? utilizando p'(t), encontrada no item anterior, calcule o valor

da derivada para esse ponto. Represente graficamente a reta tangente nesse ponto.


D) Utilizando p'(t), encontrada no item (b), calcule o valor de p'(7) e comente seu significado

numérico.


E) Comente o sinal de p'(7) e sua relação com o comportamento da função p'(t).


F) Encontre a equação da reta tangente à curva em t = e presente-a sobre o gráfico feito no

item (a).